Дидактические      Документация     Психология    Здоровьесберегающие
                          материалы                                                               технологии

«АСУ» учителя

Осмысливая свою деятельность учителя-предметника в школе, я пришел к выделению трех ее составляющих: установки, системы и атмосферы — «АСУ», как я их называю сам для себя, составив аббревиатуру в обратном порядке. Я сразу же хочу оговорить, что эти составляющие, конечно, не абсолютны. Не исключено, что каков учитель, таковы и составляющие. Более того, наверняка есть разумная работа теоретического характера, в  которой вся деятельность учителя разложена по полочкам. Даже если так, давайте предположим, что педагогическая теория ценна для нас в первую очередь тем, что мы смогли из нее присвоить и  употребить в дело. В конце концов что-то из этой теории начинаешь  постулировать для себя, как нечто исходное. И становится не так  важно — в практическом отношении,— откуда эти постулаты  появились. Главное, чтобы они работали.

Теперь я постараюсь раскрыть содержание «АСУ» как я его понимаю.

Установка включает в себя отношение к математике, к задачам образования и отношение к ученику. Причем это отношение  должно быть очень личным, выращенным в себе. Пусть при этом оно будет односторонним, возможно, корявым — я готов принять  любые упреки. Но это — мое, и с этим я иду к ученикам.

Можно ли говорить о своем понимании математики? Думаю, что не только можно, но и необходимо. Оно начинается с детских лет собственного ученичества, формируется в студенческие годы, обогащается в дальнейшем чтением и встречами с  профессионалами-математиками и уточняется в практике преподавания. За  годы работы учитель не один раз столкнется с изменением программ, учебников. В этом нет ничего страшного, более того, такой процесс естественен: меняются времена — меняются и цели обучения, вызывая все последующие изменения. Причины новаций могут быть и непредсказуемы. Кто, например, мог предвидеть, что преподавание школьной математики так сдвинется под влиянием Н. Бурбаки? (Н. Бурбаки — псевдоним группы французских математиков. В  каком-то смысле история повторилась: «Начала» Евклида вовсе не были учебником по геометрии для детей, но еще и в прошлом веке по ним кое-где велось школьное преподавание.) В последнее время, наоборот, шарахнулись от Н. Бурбаки. Не имея собственного взгляда на предмет, легко оказаться в панике.

Однажды во время небольшой дискуссии с коллегами я сказал, что мне нравится в среднем один свой урок из ста. А почему? Да потому, что я занимаюсь с детьми не наукой, а Бог знает чем. Вынужден так делать.

Математика предстает передо мной разными своими сторонами.

1. Математика — дедуктивная наука, давшая миру  аксиоматический метод и некие эталоны строгости рассуждений. Можно  начать с небольшого числа аксиом и заниматься получением  следствий из них все остальное время.

2. Математика — способ познания мира («Основа точного  естествознания»,— говорил Д. Гильберт) и средство для  практической деятельности в этом мире. Предсказать затмение или погоду, построить здание, найти концентрацию раствора — примеров,  подобных этим, миллионы.

3. Математика — это специфическая техника, набор приемов и методов для решения разнообразнейших задач, возможность  постоянно тренировать и совершенствовать эту технику.

И каждая из этих сторон накладывает свой отпечаток на  преподавание.

В силу дедуктивного характера математики я обязан  доказывать все, на что я потом собираюсь ссылаться. Не вообще все, что я говорю детям, есть интересные результаты, доказательство  которых дать ученикам просто невозможно, например,  трансцендентность чисел π и е. Порой дать приемлемое доказательство очень непросто. К примеру, традиционно в школе нет доказательств, связанных        со        свойствами        вещественных        чисел,        почему,        например, пример

Что делать? «Отсутствие доказательства для  математика подобно зубной боли»,— сказал кто-то. Надо искать какие-то выходы, постараться найти другие варианты доказательств. При этом единство метода не так важно — важнее дать какое-то  доказательство, чем не давать никакого ради сохранения единства метода. Можно обыграть то обстоятельство, что сам термин  «доказательство» в рамках школьной математики не имеет четкого  определения, насколько я знаю, и далеко за пределами школьной  математики — тоже. Я вполне согласен с таким пониманием  доказательства: «Доказать — это убедить настолько, что другой сам  готов убеждать этим же способом». Отсюда сразу же следует, что  доказательства могут иметь разный уровень строгости в зависимости от адресата. Одно дело — доказывать ученику, другое — учителю, третье — профессионалу-математику и уж совсем особое дело — доказывать специалисту по математической логике. И сразу надо сделать оговорку, чрезвычайно существенную для преподавания: абсолютизация этого требования «доказывать все» приводит к  абсурду.

Известно, что по мере взросления ребенка можно предъявлять к нему при соответствующем обучении все более высокие  требования при доказательствах.

Так, в начале курса геометрии вряд ли требуется доказывать, что диагонали параллелограмма пересекаются. Но в старших  классах можно обсуждать, почему отрезок, соединяющий точки на  разных гранях двугранного угла, пересекает любую плоскость,  проходящую через его ребро. Но даже и старшеклассники вряд ли будут чувствовать потребность в доказательстве, например, того, что выпуклый многогранник является пересечением  полупространств, ограниченных его опорными плоскостями.

Что тут поделать — такова природа процесса, она, к  сожалению, противоречива (а может быть, к счастью?), и превратить живое преподавание в формализованную до конца процедуру вряд ли возможно. Попытки загнать его в некие рамки можно  попытаться как-то оправдать, но всегда будет интересным только такое преподавание, которое выходит за эти рамки. Что бы мы ни  исповедовали в школе, важно не перегибать палки. Надо ли определять, к примеру, что такое «геометрическое тело», «функция»,  «уравнение»?

Есть притча о трех апельсинах. В семье заболел ребенок,  родители пригласили врача. Врач обследовал мальчика и сказал:

— Ребенку нужен один апельсин.

— А два? — спросили родители.

— Два — еще лучше,— ответил врач.

— Тогда, может быть, дать три апельсина?

— Нет,— ответил врач.— Три апельсина уже хуже.

Совсем утрируя, я бы сказал так: «Преподавание  математической теории в школе — это искусство водить ученика за нос». У меня в этом деле есть неплохие союзники: соображения наглядности и здравого смысла.

Уровень строгости в доказательстве, как я уже говорил, не является абсолютом. Любопытно, однако, что иногда это можно продемонстрировать в классе, оставаясь в рамках одной и той же теоремы. Приведу такой пример — доказательство теоремы о  производной сложной функции. В свободном переложении ее  содержание таково: пусть функция у (х) дифференцируема и функция z (y) дифференцируема. Тогда производные . Вот примерный рассказ ученикам.

рассказ ученикам

k1 и k2. Но угловые коэффициенты линейных функций и есть производные. Отсюда получаем: производные.

Наконец, можно перейти к совершенно формальным  выкладкам. Возьмем произвольное приращение ∆х. Тогда приращение

Здесь α и β — бесконечно малые функции. Дальнейшее  рассуждение хорошо известно, и я не буду его приводить.

Я не уверен, что сразу же стоит давать именно третье  доказательство. Во всяком случае, к такому доказательству класс надо долго готовить. (То же можно сказать о доказательстве с помощью пределов.)

Сразу же выскажу сожаление, что авторы учебников «боятся» ввести в школу дифференциальную символику и не пишут dy/dx. Доказательство заняло бы одну строчку и было бы всего лишь формальной записью первого рассуждения.

Итак, или доказательства есть — и тогда это наука, или их нет — и тогда это байки. Из этого категорического утверждения вовсе не следует, что я требую от учеников знания или даже  повторения доказательств. Ни в коем случае! По-моему, от ученика вовсе не нужно требовать воспроизведения большинства  доказательств теорем школьного курса — только самых основных, самых важных, я бы даже сказал «самых хороших». («Хорошее  доказательство то, которое делает нас умнее»,— писал известный  математик Ю. И. Манин.) Только такие доказательства и стоит  воспроизводить. Вот что примерно я говорил детям:

— Я понимаю, что большинству из вас сама математика не нужна, а это доказательство — тем более. Вам и так все очевидно. (Предположим, речь идет о теореме Больцано-Коши —  непрерывная функция, имеющая на концах некоторого промежутка разные знаки, внутри этого промежутка обращается в нуль.) Более того, вы и так мне поверите, без всякого доказательства. («Зачем вы так долго трудитесь над доказательством,— сказал некий господин Лапласу,— слова дворянина вполне достаточно, чтобы я вам  поверил».) Но я хочу другого. Я хочу, чтобы вы ясно понимали: там, где нет доказательств, там нет и самой науки.

Вторая сторона математики мне особенно близка. Хочется привести тут две фразы. Одна — достаточно ироничная —  принадлежит английскому писателю Л. Стерну: «…обычно слабость величайших математиков, которые так усердно трудятся над  доказательством своих положений и настолько при этом истощают все свои силы, что уже не способны ни на какое практически полезное применение доказанного». Другая высказана в афористической форме польским математиком Г. Штейнгаузом: «Математик это сделает лучше!» А что такое «это» — неважно. Из истории  математики известно множество примеров, подтверждающих  правоту Штейнгауза.

В школьной практике много ситуаций, подтверждающих  иронию Стерна, и очень мало, говорящих о правоте Штейнгауза.

Традиционно прикладная сторона математики в среднем  образовании была на положении Золушки. О ней, разумеется, знали и писали, были неплохие методические работы — обычно они шли под лозунгом межпредметных связей. Однако я не помню, чтобы задачи прикладного содержания предлагались ученикам на  экзаменационной, контрольной или самостоятельной работе. Отсюда, в частности, и отношение к таким задачам со стороны учителей. Замечу также, что и в иных учебниках не очень-то жалуют эту сторону математики. Вот только один пример: традиционно  рассказ о производной начинается с задачи о нахождении  мгновенной скорости неравномерного прямолинейного движения; однако же авторы одного из учебников по алгебре и началам анализа предпочли другой подход, никак не связанный с проблемами, которые поставило перед математикой развитие естествознания.

Но как бы передать детям убеждение, что математика не бухгалтерия, и не фокусы с закорючками, и не интеллектуальное времяпровождение?

В последние годы, правда, положение стало несколько  меняться. Видимо, это вызвано возросшей ролью прикладной математики в жизни современного общества (или, если угодно, усилением  прикладного направления в математике). Появились серьезные  методические работы, наборы прикладных математических задач. На уроке уже позволительно составить хотя бы пару  дифференциальных уравнений, решить задачу линейного программирования, еще кое-что. Но этого мало, очень мало. Конечно, можно рассказать, как Кеплер искал законы движения планет, как измерили  расстояние от Земли до Луны, каким путем летит самолет из Новосибирска в Санкт-Петербург… Все это хорошо, но не решает проблемы. На самом деле нужна деятельность по решению прикладных задач, и как можно более частая. Повод для такой деятельности можно найти даже в ежедневных газетах. Один только пример. Однажды в газете напечатали такое сообщение из-за рубежа: «Министр социального обеспечения Великобритании Николас Скотт сообщил депутатам парламента, что с 1984 по 1988 год число мужчин, достигших столетнего возраста, увеличилось в стране со 100 до 210. В случае сохранения этой тенденции через 66 лет на Британских островах почти невозможно будет встретить мужчину моложе 100 лет». Вопросы ученикам: каким образом министр получил число 66 и как вы относитесь к его выводу?

После одного давнего случая я стал относиться к прикладным задачам с большим почтением. Был как-то у меня (я работал тогда в математической школе) выдающийся ученик Саша Л.—  победитель всяческих олимпиад по математике и физике, включая  международную. Как-то он мне сказал: «У меня сейчас такое ощущение, что я могу решить любую задачу». И это не было бахвальством. В X классе он заинтересовался некоторыми проблемами высшей алгебры. Я попросил содействия у профессора матмеха  университета. Профессор пригласил Сашу на его семинар для  старшекурсников и аспирантов по теории Галуа. Я предупреждаю Сашу, что семинар идет для специалистов по алгебре. «А о чем у них семинар?» — спрашивает он. Я отвечаю и даю ему книгу А. Г.  Постникова, которая так и называется: «Теория Галуа». До очередного занятия семинара оставалось меньше недели. Когда Саша  появился в школе на следующий день после семинара, я, естественно, поинтересовался, как прошло занятие.

— Нормально.

— И ты все понял?

— Почти все.

— А книжка помогла?

— Конечно. С книжкой было проще — там я понял все.

Так что прикажете делать с таким вот учеником на устном выпускном экзамене по геометрии, который проводился по  общегосударственным билетам для массовой школы? На глаза мне  попалась модель неправильной треугольной пирамиды. И что-то  пришло в голову.

— Вот тебе тетраэдр и вот тебе линейка. Чему равен объем этого тетраэдра?

Проблема ясна — как вычислить высоту тетраэдра? В  громадном числе задач на объем пирамиды она обычно дана или  достаточно легко находится. А тут неясно даже, в какую точку основания она падает.

Задачу эту Саша, конечно, решил, но, как говорится, пришлось «попотеть».

В прикладной задаче, если говорить в общем, важна сама ее постановка: учет условий и формулировка вопроса. Почему  выбраны именно эти условия и почему задан именно этот вопрос? В  традиционной школьной математике все иначе: дано вот это, а  доказать (вычислить, найти, построить) требуется вот это.

«А откуда они знают, что давать?» — спросила меня как-то вконец недоумевающая ученица. Я бы добавил: «И откуда они знают, что спрашивать?»

Третья сторона математики — техническая, в которой она  предстает как набор методов и приемов решения разнообразнейших задач. Важность этой деятельности бесспорна, тут даже обсуждать нечего. При этом она хорошо разработана в методической  литературе. Беда, однако, состоит в том, что именно эта сторона  математики оказалась в школе главенствующей. И вот теперь наш разговор об отношении к математике переходит в разговор о  математическом образовании.

Этот разговор в каком-то смысле — разговор ни о чем. В  самом деле, насколько мне известно, содержание среднего  математического образования не было еще задачей обстоятельного  педагогического исследования. Та математика, которой учат в нашей средней школе,— это продолжение того, чему учили когда-то в России. Но ведь в иных странах тоже реализуют среднее  математическое образование. И там, судя по обзорам в печати, оно понимается как-то иначе. Не может быть, однако, того, чтобы математика была интернациональной, а математическое  образование — по сути своей национальным, в том числе и среднее  математическое образование. Может быть, ответ на вопрос «Что такое среднее математическое образование?» должен решаться не за  столом ученого той или иной страны? Я рискну даже сделать такое предложение: понимать под средним математическим  образованием пересечение того, что понимают под этим в странах, которые имеют в этом деле устойчивую репутацию, скажем, в тех странах, которые регулярно посылают свои команды школьников на  Международные математические олимпиады. Но пока обо всем этом договорятся (да и договорятся ли?), что-то понимать для себя необходимо.

Я иногда задаю коллегам такие два вопроса:

1. Считаете ли вы, что ваш ученик знает математику (имеется в виду школьный курс), если он знает назубок содержание  справочника по элементарной математике, т. е. знает все формулы, все теоремы и даже методы решения стандартных задач?

2. Считаете ли вы, что ваш ученик знает математику, если он умеет решать все задачи из какого-либо конкурсного задачника, т. е. из задачника для поступающих в вузы?

Ответ на первый вопрос я слышал только отрицательный. Ответ на второй вопрос неоднозначен, есть разные точки зрения. Важно, что они есть!

В той или иной степени среднее математическое образование, я убежден, должно с достаточной полнотой отражать все стороны математической науки. И отражать не только на бумаге: в  программах, учебниках, но и в практической работе учителя. Но, как это не покажется парадоксальным, оно должно быть в каком-то смысле еще шире. За счет чего?

А история открытия иррациональных чисел, комплексных  чисел, неевклидовой геометрии — какой здесь богатый материал для разговоров и бесед с учениками! А рождение, взлет и падение  логарифмов? Часть этой истории — последняя — произошла уже на памяти моего поколения. Учась в школе, я старательно  логарифмировал многоэтажные численные выражения, «ползал» по  логарифмическим таблицам и переживал, когда в выпускной работе по геометрии получил значение объема, расходящееся с аналогичным результатом у моего сокашника на единицу третьего разряда после запятой. Потом я обучал всей этой премудрости детей —  называлось это практической направленностью. Затем учил вместе с детьми устройство и правила обращения с логарифмической  линейкой, учил вместе и забывал тоже вместе. А что теперь? Все это отправилось в небытие с появлением калькуляторов.

Еще пример — теория множеств. «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором»,— было сказано Д.  Гильбертом. А что делать с ее парадоксами? И возникает вопрос: «А так ли уж эта теория необходима для обоснования геометрии,  анализа?» В результате во многих странах из школьных учебников выкидывают самые безобидные вещи, где упомянуты простейшие теоретико-множественные понятия.

Три медианы в треугольнике имеют общую точку.

— Какое же это чудо? — заявили мне пятиклассники, когда увидели сей факт, аккуратно выполнив построения в тетрадке.

— Но это же получилось у всех, правда? — говорю я.— А вы можете объяснить, почему это получилось у всех? Еще нет. А то, что нельзя объяснить, но происходит, и есть настоящее чудо.

И я помню, как мои выпускники в математической школе ошарашенно смотрели на формулу Эйлера:  формула Эйлера.

В математике можно доказать бесконечность (например, бесконечность последовательности простых чисел. И как доказать! В одну строчку!). В математике доказывают невозможность (например, невозможность решения в рациональных числах уравнения х2=2). В математике можно доказать вообще нечто невообразимое (например, что на открытом интервале столько же точек, что и на всей прямой. Для этого достаточно построить график тангенса на промежутке промежуток.

«Может ли быть прямоугольник длиной 1 км, а площадью 1 мм2?» — неосторожно спросил я как-то у 10-летних карапузов в конце  урока, под самый звонок. Боже, какая началась буря… Кажется, я не успел их убедить и сказал только: «Ну ладно, уже звонок, поговорите об этом дома со взрослыми». Вышло хуже, чем я  полагал. На следующий день Саша Е. звонким голосом отчеканил: «Моя тетя — технолог. И она сказала, что таких  прямоугольников не бывает!»

Говорят, А.Я. Хинчин, доказав студентам-математикам формулу Ньютона – Лейбница формула Ньютона-Лейбница, лекцию прекращал, чтобы они навсегда запечатлели в памяти ту великую минуту, когда с ней познакомились.

Но все это, а также доступность всего этого для детей  прекрасно известно.

Я уже не говорю об огромном мире занимательной математики. Очень хорошо писал Д. Пойа: «Математику надо не преподавать, а продавать!»

Но авторы учебников чураются ее как последней напасти. А ведь как прекрасно сказал Б. Паскаль: «Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая сделать его немного занимательным».

Мне очевидна общекультурная ценность математического  образования. Но здесь мое перо слабеет, и скажу только: еще  древние знали, что ребенка надо учить музыке и математике. Однако в последнее время, уменьшая количество часов на математику, с легкостью сводят ее изучение чуть ли не к таблице умножения. Это можно понять, но и только. Сделать дыру в общей культуре личности нетрудно, да только как ее потом латать?

А вот результат такого «образования», я приведу очень яркий пример.

Однажды газета «Комсомольская правда» напечатала статью: «Квадратура круга — это просто». Через некоторое время  последовало продолжение: «Кубатура шара? Еще проще!» Обе эти статьи я читал своим ученикам в VII, IX и X классах. Затем доводилось читать их студентам-математикам, будущим педагогам, а также своим коллегам.

Попробую вкратце передать суть этих статей. В Ставрополе живет подполковник запаса, бывший штурман, а затем  преподаватель в военном авиационном училище летчиков и штурманов В. В. Касаткин. Он создал прибор для штурманских расчетов, основанный на новом методе. Опытный образец прибора хорошо себя зарекомендовал, однако в массовое производство прибор не внедряется.

Но причем тут квадратура круга и кубатура шара? А вот при чем. По словам Касаткина, его метод не только основа для  конструирования навигационного прибора. Основываясь на нем,  можно «вычислить квадратуру круга», «удвоить куб», «решить великую теорему Ферма». Более того, идеи Касаткина позволяют добиться прогресса «на самых наисовременнейших направлениях: в  электронике, кибернетике, приборостроении, навигации, макро- и  микрокосмосе», а также в решении прикладных задач физики и химии.

Однако в Академии наук к его идеям отнеслись скептически. Был создан «Круглый стол», но и там Касаткин реальной  поддержки не получил.

В статьях приводятся многочисленные высказывания  Касаткина, есть пространный комментарий самого автора статьи,  приводятся отзывы разных ученых, как безымянных, так и названных пофамильно.

Сам Касаткин убежден в том, что его предложения имеют  мировое значение. «Хватит нам догонять… А ведь мы можем такое сделать, что и не снилось. И пусть нас догоняют».

Какова же была реакция на прочитанное? Почти полное  принятие содержания текста, причем даже у моих коллег. Надо сказать, что и самые острые обсуждения этих статей были с коллегами. После моих критических замечаний в адрес газеты я слышал и такое: «Вот такие, как Вы, и насмехаетесь над всем новым, что у нас рождается! Это такие, как Вы, не давали работать  Федорову, Илизарову, Шаталову!» Ну и так далее…

И что тут скажешь. Если держаться ближе к тому, о чем мы сейчас говорим, т. е. о математическом образовании, то оно, по-моему, включает в себя знание и некоторых запретов,  невозможностей. Мы же знаем, что не может быть вечного двигателя, что нельзя двигаться со скоростью, большей скорости света (в  вакууме), что невозможно самого себя вытащить за волосы, что не бывает КПД, большего 100%, что невозможно наследование  приобретенных свойств… Человечество давно похоронило  «философский камень», «эликсир молодости» и так далее. Точно так же надо знать о невозможности квадратуры круга, удвоения куба,  правильно это понимая.

Образование должно воспитывать уважение к науке —  тяжелейшему труду человеческого ума.

Окончив школу, человек должен понимать, что дилетанту не «решить теорему Ферма», как выражается В. В. Касаткин. Более того, «ферматисты» давно имеют печальную известность — и об этом тоже должен знать образованный человек. Вот как сказал об этом академик А. Б. Мигдал, описывая работы авторов «великих открытий».

«Все эти работы имеют общие черты:

1. Перевороту подвергается не какой-либо один вопрос, а сразу все результаты современной науки.

2. Автор не имеет профессиональных знаний в данной области.

3. Никогда не цитируются современные научные работы чаще всего потому, что автор с ними незнаком.

4. Авторы таких «трудов» всегда заявляют, что их работа — плод многолетних усилий, однако видно, что время если и  тратилось, то не на математические выкладки, не на эксперименты и даже не на анализ известных фактов.

5. Никаких других работ меньшего масштаба у автора не было».

Подробный анализ этих статей чрезвычайно поучителен. Я  сделал его в X классе. «Такое нагромождение несусветных  утверждений,— сказал я в заключение,— оставим на совести газеты».

Вот одно из них: корреспондент пишет о загадках египетских пирамид, хотя они вроде бы и ни при чем в разговоре об идеях Касаткина. Дальше я предоставляю слово А. М. Хазену. В своей книге «О возможном и невозможном в науке» он говорит:

«Но вот перед нами, по всей видимости, достоверный факт: отношение длины основания египетских пирамид к их высоте с точностью до нескольких знаков после запятой кратно… числу π. В связи с этим появляются досужие домыслы. Известно, дескать, что в Египте тогда числа π не знали, а раз оно участвует в описании геометрии пирамид, значит, в их строительстве участвовали какие-то инопланетяне, и они выбрали размеры пирамид именно такими, 20 чтобы сигнализировать последующим поколениям о своем  посещении Земли…»

Объяснить эту загадку, следуя автору, можно довольно просто с помощью устройства для измерения длин кривых линий — курвиметра. Грубо говоря, курвиметр — это колесико на палочке, которое может ехать по любой проведенной линии.

Мысленно построим такой прямоугольник. Его длину зафиксируем каким-то числом оборотов колеса курвиметра, а его ширину зафиксируем тем же числом диаметров этого колеса. Тогда отношение длины построенного прямоугольника к его ширине будет равно

формула

(Здесь d – диаметр колеса курвиметра, n – число сделанных им оборотов).

Таким образом, в отношение размеров этого прямоугольника будет «упрятано» число π.

Остается только предположить, что египтяне в те времена  умели измерять расстояния с помощью колеса или, скажем, барабана. Конечно, такое предположение не столь эффектно, как визит инопланетян.

И далее автор продолжает: «В том-то и дело, что проявление свойств математических закономерностей в деятельности человека не требует, чтобы об их существовании знали. Законы математики объективны и, конечно, работают и в том случае, когда человек их не знает».

Вот краткое резюме этого разговора: устойчивость к сенсациям является следствием хорошего образования.

Отмечу, наконец, удивительную особенность среднего  математического образования: оно порой вступает в противоречие с  тенденциями в самой математической науке. Здесь можно говорить о преувеличенном внимании к частным результатам без какой-либо попытки их обобщить или связать с другими фактами — для  примера можно взять подавляющее большинство сборников задач. Теоремы, имеющие второстепенное научное содержание, почему-то становятся чуть ли не основными в школьном курсе — так  произошло с теоремой о трех перпендикулярах в курсе стереометрии. Много времени отнимают у учителя разнообразные трансцедентные уравнения и неравенства, особенно тригонометрические и  логарифмические, не имеющие серьезной научной ценности. Понятия, не имеющие принципиального значения, почему-то становятся предметом специального изучения — так было с абсолютной  величиной. Вдруг оказывается, что чрезвычайное значение имеет то, как записано решение и в какой форме записан ответ — как будто это более важно, чем решить задачу.

Необходимость всего этого чаще всего обусловлена  подготовкой учеников к вступительным экзаменам, работники высшей  школы придумывают новый тип примеров, борясь с репетиторами и их методами натаскивания, а школьные учителя делают из  решения этих примеров некую «науку». Но иногда это вопрос моды — так было с употреблением кванторов.

Об этом приходится говорить со старшеклассниками:

Трудно сказать, каков выход из этих противоречий. Но одно ясно — необходимым условием для такого выхода является некий «круглый стол» преподавателей вуза и школы, какие-то  неформальные попытки договориться между собой — для начала хотя бы в пределах одного региона.

RSS 2.0 | Трекбек | Комментарий

Комментирование закрыто.