Дидактические      Документация     Психология    Здоровьесберегающие
                          материалы                                                               технологии

Функция полезности и ее свойства. Предельная полезность и предельная норма замещения благ. Лекция 2

Функция u(x) = u(x1,x2,…,xn), определенная на Rn+ называется функцией полезности, если u(x) ≥ u(y) тогда и только тогда, когда   x ≥ y, причем u(x) = u(y) тогда и только тогда, когда x ~ y.

Функция полезности определена неоднозначно с точностью до возрастающей функции, т. е. если φ(u) – произвольная возрастающая функция, то функция φ(u(x)) тоже есть функция полезности.

Предельная полезность блага выражает дополнительное удовлетворение от потребления одной дополнительной единицы блага.
Математически этот факт описывается частными производными функции полезности.
Пусть количество j-го блага изменилось на величину Δxj, а количество остальных благ не изменилось. Это вызвало изменение функции полезности на Δyj.

Величина указывает  на изменение полезности на дополнительную единицу j-го блага.

называется предельной полезностью j-го блага

Теперь обратимся к вопросу о взаимозаменяемости благ. Пусть объемы потребляемых благ изменились соответственно на малые величины Δx1, Δx2, …, Δxn. Тогда полным приращением полезности является величина Δu ≡ du,

где полный дифференциал функции полезности.

Если предположить, что уровень полезности не изменяется, то u(x1,x2,…xn) = c

Допустим, что количества всех благ, кроме k и l, которые взаимно заменяемы, не изменяются. Тогда получим

Откуда имеем:


Величина носит название коэффициента (нормы) предельной эквивалентной замены благ

Обратимся теперь к смыслу вторых частных производных функций полезности. Вторые частные

производные характеризуют изменение предельной полезности 

Предполагают, что  т. е. предельная полезность любого блага уменьшается по мере того,

как его потребление увеличивается. Это допущение носит название закона Госсена – закона убывания предельной полезности.

Модель оптимального выбора благ потребителем и ее анализ. Лекция 3

Как уже отмечалось, в основе модели поведения потребителей лежит гипотеза, что каждый из них, осуществляя выбор наборов благ при заданных ценах и имеющемся доходе, стремится максимизиро­вать уровень удовлетворения своих потребностей, т.е. осуществить оптимальный выбор благ потребителем Поскольку пред­почтение потребителя в пространстве наборов благ выражается целе­вой функцией w(x), то модель выбора благ потребителем имеет вид следующей задачи математического программирования:

u(x) = u(x1, x2, …, xn) → max     (3,1)

при условиях:

Для n = 2 получаем задачу max u (x1,x2) при условиях p1x1 + p2x2 ≤ M; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Задача (3.1) — (3.3) является обычной задачей математического программирования, которая состоит в максимизации строго вогнутой функции при линейном ограничении. Решение такой задачи сущест­вует, и оно единственно. Это оптимальное решение называется точ­кой равновесия задачи оптимального выбора благ потребителем.

Необходимыми и достаточными условиями для решения задачи оптимального поведения потребителя являются условия Куна-Таккера для функции Лагранжа:


А именно:

Здесь частные производные и переменные x1, x2, …, xn и λ вычислены в точке оптимума, где - оптимальное решение формулированной задачи поведения потребителя.

Из условий Куна-Таккера следует, что если 
тогда
(3.5)

Следовательно, предельные полезности пропорциональны ценам соответствующих благ.

Из условий (3.5) следует, что

так как предполагается, что pj > 0, j = 1, 2, …, n.

Таким образом, оптимальный множитель Лагранжа λ* должен быть    положительным,    и    тогда    из    условия    Куна—Таккера


следует, что весь доход используется на приобретение оптимального набора благ, т. е.

Таким образом, вместо задачи (3,1) — (3.3) мы можем рас­сматривать задачу с условием равенства:

max u(x1, x2, …, xn);

Для нее составляем функцию Лагранжа:

для которой необходимыми и достаточными условиями оптимума яв­ляются

т. е. условия

и  что совпадает с (3.5) и (3.6). Решение системы из (n + 1) уравнений и задает оптимальный выбор

и λ*. Полученное оптимальное решение за­дачи (3.1) — (3.3) зависит от значения вектора цен p и дохода M, т. е. общее решение может быть записано в виде

и  λ* = λ*(p,M),  как функции от переменных p1,  p2,…, pn и M.

RSS 2.0 | Трекбек | Комментарий

Комментирование закрыто.