Дидактические      Документация     Психология    Здоровьесберегающие
                          материалы                                                               технологии

Геометризация с помощью векторов

Я уже говорил о той геометризации, которую позволяют  осуществить векторы. Очень ярким примером является векторное пространство непрерывных функций. Хотя этот пример далек от программного школьного курса, мне удавалось рассказать о нем в виде небольшой лекции, и я помню круглые от удивления глаза учеников при этом. Сам пример достаточно прост. Множество  непрерывных функций на одном и том же замкнутом промежутке, как несложно проверить, удовлетворяет аксиомам векторного пространства. Элементы векторного пространства называются векторами. Значит, каждая из таких непрерывных функций — это вектор, как бы странно это ни звучало. Но если мы имеем дело с векторами, то надо ввести модуль вектора и угол между  векторами. Эти понятия вводятся с помощью скалярного умножения. Оказывается, для двух непрерывных функций, f и g, заданных на промежутке [a, b], число, определяемое как , можно назвать их скалярным произведением, ибо при таком  определении выполняются все основные свойства скалярного  умножения, которые входят в список аксиом евклидова пространства.

Но тогда, естественно, «модуль» функции f равен

После этого можно считать «расстояния между функциями» и «углы между функциями» по формулам, известным для векторов. Более того, такой разговор можно продолжить, введя понятие ортогональной системы функций на данном промежутке. Именно, система функций φn(x) на промежутке [а, Ь] называется ортогональной, если . Раскладывая произвольную функцию, заданную на этом промежутке, по  ортогональной системе функций (как геометрический вектор в  ортогональном базисе), можно выйти на разговор о ряде Фурье.

Можно привести и другие интересные примеры, где  используется понятие векторного пространства, причем не только в  математике.

Поняв все это, я стал относиться к векторам с большим  почтением и начал подумывать о том, что всю математику можно  рассказывать в школе как некоторую теорию векторов. Эта идея послужила начальной для решения следующей методической  задачи, которую мне пришлось решать, но об этом — чуть позже. А сейчас я хочу остановиться на той ситуации, которая  произошла в элементарной математике с векторами. И началась она  тогда, когда в учебнике седьмого класса по геометрии, написанном в соответствии с программой, принятой в 1968 году, вектор был определен как параллельный перенос плоскости. С определением вектора всегда были какие-то сложности. Обычно вектор  определялся как направленный отрезок. Но что такое направленный отрезок? Отрезок, у которого указаны начало и конец. Тут я задавал детям вопрос: «Является ли направленный отрезок  отрезком?»

— Да,— говорили одни,— это следует из определения.

— Нет,— говорили другие,— это не отрезок, так как у отрезка два конца, а не один.

Разбирая эти споры, пришлось объяснять, что верна вторая точка зрения хотя бы еще и потому, что определения равенства у отрезка и направленного отрезка различные. Что же касается первой точки зрения, которая носит явно лингвистический  характер, то я говорил, что хотя прилагательное, стоящее перед существительным, обычно уточняет его, но в языке бывают  исключения, и в этом случае тоже, например: морская капуста  вовсе не капуста.

RSS 2.0 | Трекбек | Комментарий

Комментирование закрыто.