Дидактические      Документация     Психология    Здоровьесберегающие
                          материалы                                                               технологии

Изучение sin и cos

Определение 7. Главной ветвью синуса называется функция, обратная функции arcsin. Отразим теперь симметрично относительно прямой  главную ветвь. 2π-периодическое  продолжение полученной функции на всю числовую ось называется синусом.
Определение 8. Главной ветвью косинуса называется функция, обратная функции arccos. Отразим теперь симметрично  относительно оси у главную ветвь. 2π-периодическое продолжение  полученной функции на всю числовую ось называется косинусом.

Определения эти довольно громоздкие. Поэтому можно  определить синус и косинус иначе, используя формулы через тангенс половинного угла, именно:

Свойства синуса и косинуса сразу видны из определений, а если еще нарисовать их графики, то говорить по сути не о чем — настолько все ясно.

Доказательство симметричности графиков этих функций  (иначе говоря, их четности или нечетности) получается из свойств композиции разных движений. Так, четность косинуса выводится из рассмотрения такого движения

где  — это перенос (2kπ, 0),l— это ось у. Такая композиция, являясь симметрией относительно оси ординат, отображает  график косинуса на себя. Отсюда его четность. Аналогичную работу проводят сами ученики, отыскивая композицию движений,  отображающую график синуса на себя и являющуюся центральной  симметрией относительно начала координат. Отсюда нечетность синуса.

Производные от синуса и косинуса находятся как производные обратных функций, сначала для главных ветвей. В точках  «стыковки» графиков, где происходят отражение от прямой и  продолжение до периодичности проще всего использовать соображения симметрии и геометрический смысл производной.

Важные соотношения

получаются простым переобозначением переменных в  соответствующих соотношениях для arcsin x.

Равенство  получается по той же схеме, как аналогичные соотношения для tg x и ctg x. Из этого равенства, периодичности синуса и косинуса, их симметричности получаются все формулы приведения.

Основное соотношение между синусом и косинусом, а именно

sin2 x + cos2 x= 1,

можно получить так. Сначала проверим, что при верно равенство . (Действуем привычным  методом: составляем разность этих функций, берем от нее  производную и т. д.) Пусть теперь . Запишем х в таком виде: . Тогда

Для прочих значений х используются формулы приведения и непосредственная проверка. После получения основного  соотношения между синусом и косинусом в окончательном виде  записываются их производные: (sin x)’ = cos х, (cos x)’= — sin x.

Покажем теперь, как sin x и cos x интерпретируются на единичной окружности (рис. 13). Пусть . Тогда длина дуги АВ равна arccos x? а длина дуги ВС равна arcsin x. На этот же  рисунок можно посмотреть иначе. Если длину дуги АВ обозначить через α, где , то координаты точки В таковы:  , т. е. (cos α, sin α). Значит, косинус и синус некоторого числа α из (0, π) есть абсцисса и ордината той точки на единичной окружности, которой соответствует дуга длиной α. Для других значений α используются формулы приведения и  непосредственная проверка.

Последнюю важную формулу  можно получить разными способами. Один из них, самый интересный для учеников, заключается в том, что функция  удовлетворяет несложному дифференциальному уравнению у’ = 1 + у2 с начальным условием у(0) = 0. Далее можно либо решать это уравнение, либо сказать ученикам, что и tg x удовлетворяет этому же уравнению с тем же начальным условием. Но известно (так называемая  задача Коши), что решением такого уравнения с данным  начальным условием может быть только одна функция. Значит, Теорему сложения для синуса можно доказать так же, как для tg.

На этом заканчивается наш разговор о построении теории  тригонометрических функций с помощью интеграла. Такой способ  выглядит искусственно, но это с позиций традиционного школьного курса. Если же рассматривать его как некое введение в  математический анализ, то можно еще подумать. Со своих чисто  учительских позиций скажу, что никогда я не видел столь большой  самостоятельности учеников в изучении теории тригонометрических функций, как при таком способе. Они выводили сами почти все, как только перед ними появлялись исходные определения.

А теперь еще несколько слов о едином курсе. Я и мои  коллеги проводили его не один раз. В целом он доступен ученикам,  интересен для них. При подготовке его мне пришлось перевернуть гору книг, написать для себя всю теорию и подобрать задачи по всему курсу, сочинить дидактические материалы. Работать в этом направлении было увлекательно, я узнал много нового для себя, и мне ничуть не жаль затраченного на это времени. Сама же идея единого курса лучше воплощается в 9-м классе. Для большего единства пришлось бы пересматривать вообще всю программу по математике в старших классах. На это у меня не хватило тогда духу и возможностей.

Можно иногда отвлечься от синусов и косинусов. Купить мойку Schock Quadro N 100 и заняться домашними делами. Только к выбору мойки нужно подходить также основательно, как и к изучению тригонометрии. Прикинуть бюджет, изучить варианты, ознакомиться с характеристиками, узнать рекомендации владельцев. И, когда все составляющие этого уравнения будут найдены, решение о покупки мойки Schock Quadro N 100 придет само.

RSS 2.0 | Трекбек | Комментарий

Комментирование закрыто.