Дидактические      Документация     Психология    Здоровьесберегающие
                          материалы                                                               технологии

Как вычислять длину кривой и площадь поверхности в школе

Перейду теперь к описанию того, как можно вычислять длину кривой и площадь поверхности в массовой школе. При этом, как оказывается, можно обойтись и без производной и даже без  явного использования понятия предела, используя наглядные  представления.

Начну с длины окружности. Как и в предыдущем изложении, считаем, что площадь круга нам известна. Для вычисления длины окружности радиуса R опишем вокруг нее произвольный n-угольник (будет несколько нагляднее, если взять правильный n-угольник, но это необязательно). Запишем для него формулу:

где Sn — площадь, а Рn — периметр. Отсюда получаем, что

С другой стороны, если бесконечно увеличивать n и брать точки касания сторон многоугольника все ближе, например вставляя новую между каждыми двумя соседними «старыми» точками, то отношение Sn : Pn сколь угодно мало отличается от величины S:L, где S — площадь круга, a L — длина окружности. Тогда получается, что два числа отличаются сколь угодно мало. Но это может быть только в том случае, когда эти числа равны. Итак, , откуда и получаем, что , т. е. L = 2πR.

Как ясно, во фразу «сколь угодно мало отличается» умещается чуть ли не вся теория пределов, но важно, что внимание учеников в этом месте не останавливается — настолько она наглядно  очевидна. Этот же феномен я наблюдал у старшеклассников при  выводе формул для площадей поверхностей, причем не только в массовой школе, но и в специализированной.

Покажу, как это же рассуждение используется в стереометрии.

Для получения формулы площади сферы оно абсолютно такое же, надо только в соответствующих местах повысить  размерности, использовать формулу для объема Vn описанного около сферы радиуса R n-гранника с площадью поверхности Sn. Близость точек на сфере, через которые проводятся касательные плоскости, можно обеспечить тем, что новые точки касания  выбираются внутри каждого криволинейного треугольника на сфере.

А вот как выглядит вывод формулы для боковой поверхности цилиндра. Опишем около цилиндра радиуса R и высотой Н  прямую n-угольную призму. Пусть Vn — ее объем, Sn — площадь  основания, Н — высота. Тогда Vn = SnH. Так как , где Рn — периметр основания этой призмы, то .  Выражение РnН является площадью боковой поверхности призмы,  которую мы обозначим S’n. Итак, , откуда .

С другой стороны, описывая призму с все возрастающим n, причем выбирая точки касания все ближе (как в соответствующем выводе формулы длины окружности), мы видим, что величина все меньше отличается от величины , где V — объем цилиндpa, a S — площадь его боковой поверхности, и разность между  ними можно сделать сколь угодно малой. Но тогда два числа отличаются сколь угодно мало. А это может быть только в случае их равенства. Итак, , откуда и следует, что

Доказательства для конуса и усеченного конуса совершенно аналогичны. Эти выводы ясны ученикам и воспроизводятся ими. Конечно, к таким доказательствам можно предъявить  претензии по строгости изложения, но я ведь говорю о попытках найти компромисс между требованиями науки и обучения! Если ничем не поступаться, то никакой компромисс попросту невозможен.  Главный вопрос: чем поступаться? Так мы опять выходим на  установку.

Реклама: Доверяйте выполнение наиболее важных этапов учебы профессионалам – заказывайте дипломную работу и у Вас будет гарантия качественного ее выполнения.

RSS 2.0 | Трекбек | Комментарий

Комментирование закрыто.