Дидактические      Документация     Психология    Здоровьесберегающие
                          материалы                                                               технологии

Несколько слов о «повороте вектора»

Есть непростая и  содержательная задача, которая очень красиво решается с  помощью поворота вектора: «Доказать, что сумма векторов,  идущих из центра правильного многоугольника в его вершины, равна нуль-вектору». Если число вершин четно, то задача  решается моментально, ибо на каждый такой вектор есть ему  противоположный. Но если число вершин нечетно, то ответ вовсе не является очевидным. Тем красивее выглядит решение, в котором нет никакой «тупой» работы. Итак, повернем вокруг центра  данного многоугольника каждый из данных векторов на угол , где n — число сторон данного многоугольника. Что при этом  произойдет с суммарным вектором? Он не изменится, ибо  векторы-слагаемые останутся теми же. Но в результате такого поворота не изменяется только нуль-вектор. Значит, суммарный вектор — нулевой, что и требовалось установить.

Точно так же можно решить задачу о сумме векторов, идущих из центра правильного тетраэдра в его вершины, только поворот будет уже в пространстве и вокруг оси, проходящей через один из данных векторов.

Что такое «поворот вектора», когда вектор — направленный отрезок, понятно: надо повернуть начало и конец вектора,  конкретно — был вектор , точка А при повороте перешла в  точку А1, точка В при том же повороте перешла в точку В1, тогда вектор перешел в вектор . Ситуация существенно  упрощается, если начало вектора находится в центре поворота, как и было в нашей задаче.

Но как понимать «поворот вектора», когда вектор — это  перенос? Первая же мысль, которая приходила в голову: перенос и поворот являются движениями плоскости (перемещениями — в принятой тогда терминологии), поэтому «поворот вектора» — это их композиция, т. е. , если данный вектор обозначить через а данный поворот вокруг центра О на угол φ через Оφ. Но такое «понимание» быстро опровергается. Возьмем  произвольную точку X, и пусть . В результате  композиции точка X переходит в точку Х2. Так что же — вектор , перешел в вектор ХХ2? Давайте возьмем другую точку Y и проделаем с ней то, что проделали с точкой X.

Получим вектор . Но даже на рисунке видно неравенство расстояний X2Y2 и XY, чего не может быть в результате композиции  движений, которая сама является движением. Итак, мы показали, что поворот вектора, понимаемого как направленный отрезок, не  является композицией переноса и поворота. Для ответа на этот вопрос надо порассуждать на простой картинке. Пусть в результате поворота вокруг центра О направленный отрезок АВ перешел в направленный отрезок А1В1 (рис. 8). От направленных отрезков нам надо уйти к движениям. Вместо направленного отрезка АВ появится перенос, который переводит точку А в точку В.  Повороты остаются теми же. Что теперь представляет собой то  движение, которое

точку А1 переводит в точку В1? А как можно попасть из точки А1 в точку В1? Виден такой путь: из А1 в А — это поворот вокруг О на угол φ, затем из А в В — это перенос, который был задан, а затем из В в В1 — это поворот вокруг О на угол φ. Итак, искомое движение f можно записать в виде  

И тут встает вопрос: а каким именно движением является движение f? Ответом может быть либо поворот, в частности центральная симметрия, либо скользящая симметрия, в частности перенос или осевая симметрия. Ответ на этот вопрос необычный: движение f является переносом. Я приведу доказательство,  основанное на свойствах движений на плоскости. Перенос можно разложить на композицию двух осевых симметрии с осями l1 и l2, которые параллельны: . Поворот Оφ можно  разложить на композицию двух осевых симметрии с  пересекающимися осями, причем одну из этих осей можно выбрать произвольно, поэтому запишем его такой композицией: . Тогда . Теперь, используя свойства осевых симметрии,  проделаем такие преобразования выражения для

(Композиция l2 о l3 поворот .) Сумма углов поворота равна 0. В таких случаях композиция поворотов есть перенос. При этом  видно, что в общем случае полученный перенос отличен от исходного. Любопытно, что получаемый в результате перенос, т. е. вектор в этой терминологии, не зависит от выбора центра поворота  (доказательство я опускаю).

Когда я все это понял, то перестал заикаться, произнося в аудитории слова «повернем вектор». Более того, мне даже  понравилась эта операция, с помощью поворота вектора можно решить целый ряд непростых задач. Особенно интересен поворот  вектора на π/2. Мы уже видели, как он может быть использован при исследовании линейных систем с двумя переменными (см. с. 56). Но есть и другие возможности, связанные с тем, что эта операция обладает свойством линейности: . Обозначим вектор (1, 0) через . Вектор, полученный поворотом вектора , обозначим как Этот вектор можно разложить в ортонормированном  базисе . По определению можно положить, что х в этом разложении есть . Из этих соображений можно вывести всю тригонометрию. О свойствах поворота  вектора и его применениях хорошо написали П. С. Моденов в книге «Задачи по геометрии» и 3. А. Скопец во многих работах.

Реклама: Для создания таких сайтов можно использовать дешевые выделенные сервера. Услуга выделенный сервер подразумевает аренду сервера. Аренда дешевых серверов включает в себя бесплатные услуги и дополнительные платные услуги.

RSS 2.0 | Трекбек | Комментарий

Комментирование закрыто.