Дидактические      Документация     Психология    Здоровьесберегающие
                          материалы                                                               технологии

Обобщение задачи и лайки инстаграм

Теперь можно перейти к обобщению задачи, причем обобщать будем не сразу на n середин сторон многоугольника из-за того, что при четных значениях n результат будет не такой, как при нечетных значениях n. Проще получить результат при нечетных значениях n. Итак, имеем задачу: построить пятиугольник, зная середины его сторон. Искомый пятиугольник обозначим Х1Х2Х3Х4Х5 и пусть А1 — известная середина стороны Х1Х2, А2 — середина стороны Х2Х3, А3 — середина Х3Х4, А4 — середина Х4Х5, A5 — середина Х5 Х1. По аналогии с предыдущей задачей составляем такую систему:

Решаем ее относительно неизвестных точек Х1, Х2, Х3, Х4, Х5.

Хорошие настоящие лайки инстаграм можно приобрести за небольшие деньги. Чем больше лайков покупать, тем ниже стоимость одного лайка.

Для этого от первого уравнения можно отнять второе, затем прибавить третье, потом отнять четвертое и, наконец, прибавить пятое. После сокращения на 2 получим равенство:

Выбрав полюс и произведя все указанные действия с векторами, построим точку Х1. Остальное не представляет труда. И точно так же решается задача для любого многоугольника с нечетным числом сторон. При этом многоугольник не обязан быть плоским. Безразличие к размерности — одна из особенностей векторного метода решения задач.

Пусть теперь число неизвестных вершин четно. Возьмем самый простой случай, когда их всего две. Задача выглядит так:  построить отрезок, зная положение его середины. Ясно, что задача имеет сколько угодно решений.

Пусть теперь даны четыре точки — середины сторон  некоторого четырехугольника Х1Х2Х3Х4. Причем А1— середина Х1Х2, А2 — середина Х2Х3, А3 — середина Х3Х4, А4 — середина Х4 Х1. Действуя как раньше, приходим к такой системе:

Решаем эту систему прежним способом: от первого уравнения отнимаем второе, затем прибавляем третье и отнимаем  четвертое — приходим к равенству А1—А2 + А3—А4=0, которое  является необходимым условием разрешимости этой системы. Иначе говоря, если, А1—А2 + А3—А4≠0, то решений нет. Придадим этому условию разрешимости геометрическое истолкование.  Вернемся к векторной записи равенства А1—А2 + А3—А4=0.  Получим ,  откуда  Иначе говоря, точки А1, А2, А3, А4 являются вершинами параллелограмма (может быть, и вырожденного). Если это не так, то задача не имеет решения. А что будет, если это верно?

Обратное утверждение хорошо известно: середины сторон  любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Покажем в соответствии с этим, что, имея параллелограмм, мы можем получить сколько угодно четырехугольников, для которых вершины данного параллелограмма являются серединами их сторон. Итак, пусть Возьмем любую точку X (рис. 3), проведем отрезок ХА1 и продолжим его на равную длину до точки Y; проведем отрезок YA2 и продолжим его на равную длину до точки Z; проведем отрезок ZA3 и продолжим его на равную длину до точки С. Теперь докажем, что точка А4 является серединой отрезка СХ, показав их совпадение. Из равенства А1—А2 + А3—А4=0 имеем: А4132. С другой стороны, С+Х = (2A3-Z)+(2A1-Y)=2A3+ 2A1-(Y+Z)=2A3+2A1-2A2, откуда ½(C + X) = A1+A3-A2.

Итак, А4=½(C + X). Так как точку X мы выбирали любую, то искомых четырехугольников действительно сколько угодно.

(Замечу, что к данному результату, точнее к отсутствию единственного решения в случае четырехугольника, можно прийти, подсчитывая определитель составленной алгебраической системы. Он равен нулю.)

И опять следует отметить, что задача допускает и  пространственное толкование, при котором исходные точки А1, А2, А3, А4 не обязательно лежат в одной плоскости.

К аналогичному результату мы приходим при других четных значениях числа сторон многоугольника.

RSS 2.0 | Трекбек | Комментарий

Комментирование закрыто.