Дидактические      Документация     Психология    Здоровьесберегающие
                          материалы                                                               технологии

Перейдем к задачам по стереометрии

Задача 1. Пусть плоскости  α и β пересекаются по прямой с, плоскости β и γ пересекаются по прямой а, плоскости γ и α пересекаются по прямой b, прямые а и b пересекаются в точке А. Доказать, что прямая с пересекает как прямую а, так и прямую b, причем в одной и той же точке.

Решение. Любопытно, что эту задачу можно решить безо всякого рисунка. Сначала перепишем условие с помощью  множеств:  α ∩ β = c, β ∩ γ = a, γ ∩ α = b, a ∩ b = A, Нас  интересует пересечение трех прямых: a, b и с, т. е. множество . Имеем: . Отсюда и получается нужный нам результат.

Задача 2. Пусть три плоскости пересекаются по трем  различным прямым, причем никакие две из этих прямых не  пересекаются. Доказать, что каждая из данных прямых не пересекает той плоскости из данных, в которой она не лежит.

Решение аналогично.

Задача 3 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая а параллельна прямой b, лежащей в плоскости α, но сама не лежит в плоскости α, то она параллельна α. Доказать.

Решение. Пусть а и b лежат в плоскости β. Тогда:  a ∩ α = (a ∩ β) ∩ α = a ∩ (β ∩ α) = a ∩ b = Ø, что и требовалось получить.

Задача 4 (признак параллельности двух прямых). Если прямая а параллельна плоскости α, а плоскость β проходит через а и пересекает α по прямой а1, то а||а1. Короче это можно  сказать так: «прямая, параллельная плоскости, параллельна своей проекции на эту плоскость» (имеется в виду параллельная  проекция). Доказать.

Решение. a ∩ a1 = a ∩ (α ∩ β) =  (a ∩ α) ∩ β = Ø ∩ β = Ø.

Задача 5. Две плоскости параллельны и пересекаются третьей. Доказать, что полученные в пересечении прямые  параллельны.

Задача 6. Имеются две пары пересекающихся плоскостей. Плоскости этих пар соответственно параллельны. Доказать, что прямые пересечения этих плоскостей параллельны. Не следует думать, что такого рода доказательства заменяют традиционные, они только иллюстрируют возможности  использования множеств и только в таком качестве сообщаются ученикам. Да и сами утверждения, доказанные с их помощью, достаточно просты. Но вот более серьезный пример.

Задача 7. Два круговых сечения шара имеют  единственную общую точку. Доказать, что окружности этих кругов имеют общую касательную.

Традиционное решение в этой задаче достаточно сложное. Поэтому перейдем к множествам.

Решение. Пусть первый круг К1 получился при  пересечении шара Ш и плоскости α, а второй круг К2 получился при пересечении шара Ш и плоскости β. Так как эти круги по условию имеют общую точку, то плоскости этих кругов имеют общую прямую, которую обозначим через a: α ∩ β = a.  Рассмотрим теперь пересечение прямой а с шаром: α ∩ Ш =(α ∩ β) ∩ Ш = (α ∩ Ш)  ∩ ( β ∩ Ш) =(К1 ∩ К2) = A.

Но тогда прямая а имеет с каждым кругом единственную общую  точку, а значит, является касательной к окружности каждого круга. В этом решении весьма любопытно то, что нигде явно не использовалось определение шара, а значит, задача допускает  какие-то обобщения, которые можно поискать вместе с учениками.

Задача 8. К сфере проведены две касательные плоскости, которые пересекаются по некоторой прямой. Доказать, что эта прямая не имеет со сферой общих точек.

Задача 9. Две сферы имеют единственную общую точку. Через эту точку проведена плоскость, касательная к одной из сфер. Доказать, что плоскость будет касаться и другой сферы.

Задача 10. Доказать, что плоскость, опорная к цилиндру и проходящая через его образующую, пересекает плоскость  основания цилиндра по прямой, опорной к его основанию.

Напомню, что плоскость называется опорной к фигуре, если она имеет с фигурой хотя бы одну общую точку, а вся фигура лежит с одной стороны от этой плоскости. (Аналогичное  определение для опорной прямой.)

Задача 11. Два цилиндра имеют единственную общую  образующую. Через нее проводится плоскость, опорная к одному из них. Доказать, что она будет опорной и к другому.

В задачах 10 и 11 вместо цилиндров в условии можно  рассматривать конусы.

Я привел только два примера использования множеств в преподавании. Но есть и другие. Используя их, гораздо легче  говорить о равносильности уравнений и неравенств, о нахождении фигуры по характерному свойству для ее точек и т. д.

Если вас интересует фотосессия свадьба и вы хотите отвлечься от задач по стереометрии, то посмотри фотосессию данной свадьбы.

RSS 2.0 | Трекбек | Комментарий

Комментирование закрыто.