Дидактические      Документация     Психология    Здоровьесберегающие
                          материалы                                                               технологии

Образцы задач на тему «Равнобедренный и равносторонний треугольник» – 4К

Приведу образцы задач, предлагаемых ученикам после того, как они познакомились с равнобедренным и равносторонним треугольником, и относящихся к пространственным фигурам.1. Если в основании пирамиды РАВС равносторонний треугольник ABC, а боковые ребра PA, PB, PC равны, то пирамида называется правильной треугольной пирамидой. а) Пусть К, L, М — середины ребер АС, АВ, ВС соответственно. Докажите, что PK = PL = PM. б) Пусть точка N — середина ребра РА. Докажите, что треугольник CNB является равнобедренным. Будет ли он равнобедренным, если N — другая точка внутри его ребра? А если N лежит на продолжении ребра? в) Пусть точка О — середина ребра РВ. Докажите, что треугольник CNO равнобедренный.

2. Пусть в треугольной пирамиде все ребра равны. а) Докажите, что она является правильной. б) Пусть точка К лежит внутри ребра АС. Докажите, что треугольник РКВ равнобедренный. в) Пусть точка N — середина ребра РА, точка М — середина ребра ВС. Нарисуйте отрезок MN. Нарисуйте два треугольника на поверхности этой пирамиды, в которых этот отрезок является высотой.

3. Нарисуйте куб ABCDA1B1C1D1. Укажите такие его вершины, которые являются вершинами равностороннего треугольника. Какие вы выберете точки К и L на ребрах DA и DC, чтобы треугольник D1KL оказался равносторонним? А на прямых DA и DC?

Аналогичные задачи легко придумать, когда мы переходим к четырехугольникам и их частным видам; здесь главными объектами из мира пространственных фигур становятся четырехугольная пирамида и прямоугольный параллелепипед.

Еще более богатым становится набор стереометрических задач, когда в курсе планиметрии появляются величины: площади, разнообразные соотношения между длинами сторон треугольника и решение треугольников. Перейдем опять же к примерам.

4. (Задача на площадь прямоугольника.) Прямоугольный параллелепипед Т разрезали на два прямоугольных параллелепипеда Т1 и Т2. Будет ли площадь поверхности Т равняться сумме площадей поверхностей Т1 и Т2? Если нет, то она будет больше или меньше?

Может быть, эту идею иллюстрировать на такой задаче? «Куб разрезали на 8 равных кубов. а) Сравните площадь поверхности данного куба и площадь поверхности полученного куба. б) Сравните площадь поверхности данного куба и площадь поверхности всех восьми кубов. в) Пусть каждую сторону данного куба разделили на 10 равных частей. На сколько кубов разделится данный куб? Выполните задания а) и б) для данного случая».

5. В тетраэдре РАВС углы РСВ, РСА, ВСА прямые. РС = ВС = АС= 1. Чему равна площадь поверхности этого тетраэдра? Решите также эту задачу, когда угол ВСА равен 60°, 120°.

6. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника BCD, угол В в этом треугольнике — прямой. Рассмотрим длины отрезков АВ, ВС, BD, АС, AD, CD. а) Пусть известны длины АВ, ВС, BD. Вычислите длины остальных отрезков. б) Пусть известны длины АВ, ВС, CD. Ответьте на тот же вопрос. в) Выберите сами любые три из данных шести длин и ответьте на тот же вопрос.

(Задачи 5 и 6 предлагаются к теореме Пифагора.)

7. В тетраэдре известны длины трех ребер, выходящих из одной вершины, и углы между этими ребрами. Как найти площадь его поверхности? Задача предполагает знание синуса угла, формулы Герона или теоремы косинусов.

Число примеров легко увеличивается. Практически на каждое утверждение планиметрии можно подобрать несложные стереометрические ситуации, где это утверждение может применяться.

За результатами такой работы мне удалось проследить только один раз — я работал с пятиклассниками и выпустил их из школы. Что я понял из столь краткого опыта? Разумеется, такой деятельностью стоит заниматься, особенно в том случае, когда, начав курс геометрии в VI классе, рассчитываешь закончить его в X классе. Стереометрические задачи решаются детьми в VI—VIII классах так же, как и планиметрические, не хуже и не лучше, иногда даже с большим успехом. И вот почему. Основная их нагрузка связана с пространственным мышлением, а не с математическим содержанием, которое обычно не слишком велико. В то же время усложнение планиметрических задач идет как раз в их математическом содержании. Естественно, что ученик, имеющий уже некоторые трехмерные представления, легче справляется со стереометрической задачей, нежели с планиметрической чуть повышенной трудности. Вместе с тем я не заметил, что мои ученики, став старшеклассниками, стали решать более трудные задачи по стереометрии — увы. На выходе из X класса математическое содержание задач осталось таким же. Но совершенно мне очевидно, что известная проблема перехода от планиметрии к стереометрии в начале IX класса была снята. Разумеется, я не считаю, что предложенный вариант решения этой проблемы единственно возможный. Но я убежден, что ее решение в рамках нашей системы среднего математического образования нельзя откладывать до бесконечности, какие-то варианты пора уже предлагать и для широкого преподавания.

Источник: www.kartaznaniy.ru/secondary-education/school

RSS 2.0 | Трекбек | Комментарий

Комментирование закрыто.