Дидактические      Документация     Психология    Здоровьесберегающие
                          материалы                                                               технологии

Столкновение двух взглядов на преподавание геометрии

Я уже говорил о кризисе в преподавании школьной  геометрии. Любопытно отметить, что такое состояние не является чем-то новым — достаточно почитать исторический очерк Ф. Клейна в его книге «Элементарная математика с точки зрения высшей».— М.: Наука, 1987. Особенно сильно влияет, по-моему, на глубину и продолжительность нынешнего кризиса столкновение двух взглядов на преподавание геометрии.

Первая точка зрения состоит в том, что геометрия в школе должна преподаваться как интеллектуальная дисциплина. При этом главная ее задача — воздействовать на интеллект ребенка и развить его логическое мышление. Тому способствует четкая аксиоматика, законченная последовательность теорем, полноценная аргументация в изучении теории и решении задач.

Интересно, знакомы ли сторонники этого взгляда с опытами психологов, проведенных уже давно? Были взяты две одинаковых группы студентов, и одна из них обучалась евклидовой геометрии, а другая — нет. В остальном условия обучения были одинаковы. По окончании обучения в обеих группах были предложены для решения одни и те же задачи, не по геометрии, но требующие некоторого рассуждения. Никакого преимущества «геометрическая» группа не показала.

Вторая точка зрения заключается в том, что геометрия в школе должна преподаваться для того, чтобы обучить ребенка понимать мир формы. Видеть этот мир, ориентироваться в нем  невозможно без специального образования. Кроме того, громадную роль имеют геометрические образы в разных науках: математике,  химии, биологии, технике, не говоря о практической деятельности людей.

Дело не в том, какая из этих точек зрения важнее и должна победить, а в том, как можно учесть их обе. В современном преподавании геометрии это не получается так, как хотелось бы. Приведу несколько примеров.

1. Решим такую задачу. Чему равен объем прямоугольного  параллелепипеда, измерения которого равны 1,2 см, 3,4 см и 6,8 см? Чего, казалось бы проще: перемножим эти измерения и получим ответ. Но! Если эту задачу решают на математике, то в ответе оставят все знаки после запятой. Если эту задачу решают на физике (при определении удельного веса вещества, из которого  сделан этот параллелепипед), то после запятой оставят максимум два знака.

Явный нонсенс, и точка зрения физики мне ближе — откуда же взялись эти самые сантиметры в данных? Видимо, был какой-то процесс измерения? Но тогда выполняются все правила приближенных вычислений, от которых часто в ужасе отмахивается учитель геометрии.

Если же убрать из условий задач все размерные величины, то, по моему разумению, это придаст курсу школьной математики сильный схоластический оттенок.

2. Всегда с большим трудом приходится доводить до сознания детей идею существования геометрической фигуры, обладающей некоторым свойством. Фразы типа: «Докажем существование середины отрезка, или биссектрисы угла, или перпендикуляра к плоскости» должны быть очень аккуратно поданы, ибо сознание ребенка не может легко смириться с необходимостью  доказательства существования того, что он может увидеть собственными глазами. Причем все доказательства и существования в школьном курсе конструктивны, что иногда еще более усложняет задачу учителя. Вместе с тем конструктивные доказательства  существований все равно «повисают в воздухе». Это видно хотя бы из такого вопроса: «Существует ли круг площадью 1?» С одной стороны, ясно, что существует, но, с другой стороны, его радиус равен  и не может быть построен циркулем и линейкой.

— И вообще,— спрашиваю я старшеклассников,— каков смысл утверждения о том, что существует окружность?

Один из хороших ответов был такой:

— Все упирается в смысл таких утверждений: «существует точка» и «существует бесконечное множество точек».

3. Доказательства существования из соображений непрерывности, хорошо известные с давних времен и применяемые геометрами в своих сочинениях, отсутствуют в школьном курсе. Вот, например, как у Д. Гильберта и С. Кон-Фоссена («Наглядная геометрия» — М.: Наука, 1981) доказано, что эллипсоид имеет круговое сечение (я рассказываю не дословно, а только идею). У эллипсоида три диаметра, возьмем средний из них и будем вращать сечение, проходящее через средний диаметр. Такое сечение всегда является эллипсом. Если начать вращение от того  положения, когда оно проходит через наименьший диаметр, до того положения, когда оно проходит через больший диаметр, то в какой-то момент диаметры эллипса — сечения — станут равными. Но такой эллипс является окружностью.

Я мог бы доказать, что это противоречие в понимании  преподавания геометрии может быть снято, если понимать это преподавание как преподавание прикладной математики.

Пожалуй, наиболее полно описали это толкование в своей книге «Механика и прикладная математика» (М.: Наука, 1990) И. И. Блехман, А. Д. Мышкис и Я. Г. Пановко. При этом я  подчеркиваю: не геометрия является прикладной математикой, а преподавать геометрию имеет смысл как прикладную математику. В чем же этот смысл? Ну хотя бы в отношении к существованию. Кубы, тетраэдры и перпендикуляр к плоскости потому и могут изучаться в восьмилетке, что вопрос об их существовании как объектов идеальной математической теории не стоит. И даже если подождать с многогранниками до курса стереометрии, то все равно их стоит рисовать и решать про них разные задачи до того, как будет формально доказано их существование.

Примечание. Работающие в таких городах, как Екатеринбург нотариусы, юристы, адвокаты сказали бы большое спасибо тем учителям, которые придерживаются первого подхода в преподавании геометрии, так как этот подход способствует лучшему пониманию юридических законов, нужных нотариусам и адвокатам. Напротив, бухгалтера и экономисты предпочли бы второй подход.

RSS 2.0 | Трекбек | Комментарий

Комментирование закрыто.