Дидактические      Документация     Психология    Здоровьесберегающие
                          материалы                                                               технологии

Вычисление площади поверхности

Можно найти длину дуги окружности. Аналогично определяется площадь поверхности в  пространстве. Только вместо кривой Г появляется поверхность Г, вместо длины кривой L (Г) появляется площадь поверхности S (Г), а вместо площади S (Ф) появляется объем V (Ф).

Итак,

Для начала показать, как с помощью этого определения можно найти площадь поверхности в простейших случаях,  например для прямоугольника со сторонами а и b. Фигура Ф состоит из прямоугольного параллелепипеда с размерами a, b и 2r, двух полуцилиндров с радиусом основания r и высотой а, двух  полуцилиндров с радиусом основания r и высотой b и четырех четвертьшаров радиуса r. (Представить себе фигуру Ф куда легче, чем ее нарисовать.) Тогда

Другой пример — вычисление площади сферы совершенно  аналогично вычислению длины окружности и выполняется самими  учениками.

Из этих примеров ясно, что технические трудности при  вычислении пределов возникают тогда, когда у поверхности есть края. Для уменьшения этих трудностей приходится искать  наиболее удачные способы вычисления объема Ф в тех случаях когда сразу найти его не удается. Тогда подбираются фигуры Ф1 и Ф2 такие, что  . Если существуют пределы:

и они равны A, то тем самым существует и нужный нам предел , который тоже равен А.

Проще всего продемонстрировать этот способ для вычисления площади боковой поверхности цилиндра.

Пусть боковая поверхность цилиндра образована вращением отрезка АВ вокруг оси XY, параллельной этому отрезку (рис. 16). Обозначим АВ = Н, АО1 — расстояние до оси вращения R. Фигуpa Ф1, содержащаяся в Ф,  представляет собой разность двух цилиндров: цилиндра с  радиусом O1C1=R+r и высотой О1Р1=Н и цилиндра с  радиусом O1T1=R-r и той же  высотой. Фигура Ф2 содержащая Ф, представляет собой разность двух цилиндров: цилиндра с  радиусом O2C2=R + r и высотой О2Р2= Н+2r и цилиндра с  радиусом O2T2=R-r  и той же высотой. После вычислений  получаем: V(Ф1)=4πHRr,

Наибольшие хлопоты доставляет вычисление площади боковой поверхности конуса и усеченного конуса. При этом можно пойти двумя путями: 1. Найти площадь боковой поверхности конуса, а площадь боковой поверхности усеченного конуса вычислить,  исходя из аддитивности площади поверхности. При этом  аддитивность надо как-то объяснить, ибо определение по Минковскому конструктивное, а значит, никакие свойства площади поверхности заведомо не являются известными. 2. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, из которой, как предельный  случай, вывести формулу для площади боковой поверхности конуса (а также и боковой поверхности цилиндра). Также можно  получить формулу для вычисления площади сферического сегмента.

RSS 2.0 | Трекбек | Комментарий

Комментирование закрыто.